E-Mail M. Nicolini: mnico@iol.it

E-Mail M. Facchini: m.facchini@iol.it

Traducido al español por Juan Lacruz

La intención principal de este trabajo ha sido el comprobar y desarrollar las técnicas de observación cometaria con CCD.

Como facilmente se podía prever (Nicolini 1992), ya desde hace unos años las cámaras CCD, dadas sus características particularmente ventajosas, se han hecho también para los astrónomos aficionados el principal instrumento de observación.

Después de pasar el primer tiempo "jugando" con las increibles prestaciones de estos dispositivos electrónicos, era necesario iniciar una investigación sistemática de las técnicas de obtención y de elaboración no solo para hacer imágenes, como desafortudamente amenudo se limita el astrónomo aficionado, sino también y sobre todo con el fín de producir datos cuantitativos de las imágenes CCD: nuestro objetivo es dar al astrónomo aficionado los medios teóricos y prácticos para realizar este salto cualitativo.

Una ocasión óptima para la puesta a punto de las técnicas de observación cometaria con CCD ha sido el paso próximo del cometa Hyakutake.

Cuando un cometa pasa a únicamente 0.1 U.A. de la Tierra se tiene la oprotunidad de observar de forma muy detallada las particularidades internas de la coma que son el producto directo de la emisión de polvo y gas por el núcleo y que se muetran como halos, chorros, fuentes, arcos, etc. (Favero 1995).

La fotografía, también la de alta resolución, han tenido dificultades para evidenciar estos particulares debido al largo tiempo de exposición que termina por sobre exponer la zona del núcleo y de la coma; por otra parte la observación visual es mucho mas detallada gracias a la capacidad del ojo humano pero tiene el gran defecto de ser demasiado subjetiva y dependiente de las condiciones ambientales e instrumentales. Solo recientemente con la utilización de las CCD y alguna técnica de elaboración digital de las imágenes astronómicas esta dificultad ha sido superada en parte (Buil 1997).

El interés en la observación de los detalles de la coma de los cometas aumentó particularmente cuando se demostró que la estructura de la coma contiene información sobre el spin (giro) del núcleo (Whipple 1982) con importantes consecuencias para el estudio de la dinámica de estos objetos celestes.

El telescopio de Cavezzo está configurado actualmente de modo óptimo para la investigación sistemática de nuevos asteroides y para la reducción astrométrica de los mismos (Calanca, Fusari, Manenti 1996). Como procemiento estandar interno, por cada sesión de observación se memoriza en un fichero (en inglés para que pueda ser adjuntado a todas las comunicaciones con observatorios extranjeros) que contiene esencialmente datos de configuración de la óptica y de la CCD; la tabla 1 muestra las características observacionales comunes a todas las noches tomadas en consideración para el Hyakutake.

Vista la alta velocidád del cometa el día de su máximo acercamiento a la Tierra (ver tabla 2) y dada la imposibilidad de seguirlo en ambos ejes por separado, se estableció un valor máximo de la exposición para la componente de la velocidad en declinación mientras que se compensó completamente el movimiento en ascensión recta regulando la velocidad de los motores paso a paso del seguimiento.

Para aumentar la resolución se debería haber utilizado la focal completa del telescopio (2210 mm) pero esto no habría permitido un tiempo de exposición suficientemente largo para disfrutar de todo el rango dinámico de la cámara CCD.

No ha sido posible la calibración fotométrica de las imágenes dada la dificultad de l diálogo entre el software de adquisición y el de búsqueda automática de planetas (que era utilizado las mismas noches para una serie de pruebas), se modificaban los parámetros de ganancia y offset de la cámara CCD sin que el operador puediera intervenir.

Pero el verdadero obstáculo para la adquisición de las imágenos ha sido el mal tiempo: justo en las noches de máximo acercamiento a la Tierra, la llanura del Po estaba inmersa en una fina cortina de nubes, mientras que las cuatro noches consideradas en este trabajo para el examen de la estructura mas interna de la coma, han sido una verdadera carrera por el último trozo de cielo en calma.

Las imágenes utilizadas en este análisis son las del 19, 21, 28, 29 de marzo que se muestran en la tabla 2.

En la misma tabla se muestran los movimientos aparentes en ascensión recta A.R. (D a ) y en declinación (D d ), el número de imágenes adquiridas en la noche (Frames), el tiempo de exposición comunmente utilizado (Exp.) en segundos, la distancia geocéntrica (Delta) y heliocéntrica (Radío) y la escala en Km/pixel (Escala).

Todos los cálculos corresponden a las fechas en tiempo universal T.U. inidicadas en la tabla la cual a su vez corresponde al tiempo media de la primera exposición de la serie.

Todas las imágenes obviamente han sido sometidas al usual pre-processing consistente en la substracción del dark-frame y la divisón por el flat field.

El programa que hemos utilizado (MiPS de C. Buil) es ideal para este propósito dado que permite la creación de comandos macro es decir pequeños programas escritos en un lenguaje residente muy parecido a un BASIC muy simplificado; esto reduce mucho el tiempo de pre-processing también en los casos en que hay que tratar grandes cantidades de imágenes.

Antes del pre-processing se pasaba una utilidad creada expresamente por nosotros en lenguaje ensamblador por A. Salmaso del Gruppo Astrofili de Padua para la conversión del formato propietario de la cámara CCD al formato PIC utilizado por MiPS y al mismo tiempo orientaba la imagen para una visualización correcta con el Norte hacia arriba y el Este a la izquierda.

Llegados a este punto y para evitar la manipulación de ficheros muy grandes, las imágenes originales pre tratadas se recortan en un cuadrado entorno a la coma de 180x180 pixels centrados perfectamente en el núncleo.

Nuestro trabajo se ha concentrado por el momento en el análisis de las cuatro noches correspondientes al periodo del máximo acercamiento del cometa a la Tierra el 19, el 21, el 28 y el 29 de marzo, con una resolución máxima de 362 Km/pixel correspondiente a la noche del 28.

Nuestra preocupación principal ha sido obtener una visión completa construyendo cuatro imágenes con un tiempo de integración total de 100 segundos cada una disponibles para cada una de las cuatro noches para entonces visualizarlas con los mismos niveles (nivel alto=32767, nivel bajo=0): el resultado mostrado en la Figura 1 se pueden hacer las siguientes consideraciones: la noche del 19 el cometa es prácticamente invisible respecto a las demás noches; esto da una idea del enorme aumento de luminosidad sufrido por el cometa en el intervalo de tiempo considerado aunque, confirmado por las notas en nuestro registro de observación, aquella noche el cielo aparecía particularmente velado y esto no ha permitido obtener imágenes de buena calidad.

Como veremos, aunque por completitud mantendremos en nuestro análisis la presencia de esta noche, será de escasa utilidad.

Otra observación referente a las imágenes del 29: noche en la cual de hecho se intentó tomar una imagen de campo ancho del cometa con la técnica del mosaico: durante las exposiciones la coma era situada siempre en una de las cuatro esquinas de la CCD; lo que explica el contorno viñeteado de la composición centrada en el falso núcleo del cometa. El área de nuestro interés entorno a la coma no ha estado comprometida y es perfectamente utilizable para los análisis subsiguientes.

Las cuatro imágenes con el mismo tiempo de integración permiten un primer análisis morfológico de la coma en las mismas condiciones de visibilidad (a excepción como se ha dicho para la imagen del 19): es evidente el fuerte aumento de la luminosidad en el intervalo entre el 21 y el 28 de marzo; también es visible la diferente orientación del desarrollo de la coma: el 21 tiene un desarrollo debilmente orientado hacia el oeste (P.A.= 270º) mientras que el 28 se desarrolla hacia el nor-este (P.A.= 45º) : este fenómeno de perspetiva está causado por la rotación de cerca de 145º del vector Tierra-Cometa en el intervalo comprendido entre ambas fechas. (Recordemos que el ángulo de posición P.A. se mide de norte a este en sentido antihorario); (S.J. Edberg 1985).

Para proceder con el análisis utilizando el algoritmo de Larson-Sekanina, debemos tener la posibilidad de utilizar todo el rango dinámico de todas las imágenes tomadas para cada una de las noches.

Una técnica, que utilizamos todas las veces en las que la suma de imágenes lleva a superar el rango dinámico efectivo del convertidor (16 bit pero, después de la conversión al formato PIC propietario del programa de Buil, solo utilizamos 15 de 0 a 32767 ADU), es la de efectuar para cada imagen a sumar una conversión logarítmica de modo que la imagen final no llegue a superar en ningún pixel el valor máximo de 32767.

Se obtuviero así imágenes (que llamamos "master frame") que se muestran para cada noche como suma de las imágenes individuales utilizando en la visualización la máxima dinámica posible (Fig. 2).

Estos "master" acabados de obtener, pueden ser utilizados finalmente para los estudios de morfología de la coma y del falso núcleo más detallados

Una de las técnicas mas frecuentemente utilizadas es la de aplicar el algoritmo de Larson-Sekanina, por primera vez ilustrado en un artículo del Astronomical journal (Sekanina Z., Larson S. M. 1984).

En el artículo en cuestión los dos investigadores han utilizado esta técnica de procesamiento de imágenes en las placas de alta resolución del cometa Halley tomadas por G.W.Ritchey con el reflector de 152 cm. de Monte Wison en mayo-junio de 1910.

Las placas del Halley fueron digitalizadas con el microdensitómetro PDS del Kitt Peak National Observatory en frames de 500x500 pixels de 40 micrones, esto es de cerca de 1 segundo de arco de resolución, y posteriormente elaboradas.

Ya en aquellos tiempos se utilizaban varias técnicas, como la derivada direccional de la intensidad luminosa, para resaltar los detalles menos contrastados de la coma; estas estaban sin embargo limitadas por el hecho de que resaltaban las características presentes solo en la dirección considerada para la derivada.

Steven M. Larson del Lunar and Planetary Laboratory en Arizona y Zdenek Sekanina del Jet Propulsion Laboratory en California pusieron a punto a la vez un algoritmo de procesamiento de imágenes que permitía la aplicación de la derivada direccional de la intensidad luminosa a una imagen en todas las direcciones operando una sencilla transformación de coordenadas.

Como sabemos, una imagen digitalizada se puede representar como una función bidimensional I(x,y) donde a cada coordenada discreta x,y representando un pixel está asociado un valor de la intensidad I que es el valor de la conversión analógica-digital de la imagen (ADU). Esto como hemos dicho, referido a un sistema de coordenadas cartesiano con el origen representado en uno de los cuatro pixels que són las esquinas de la imagen (en general el primero abajo a la izquierda).

Si utilizamos un sistema de coordenadas polares podemos escribir nuestra función imagen como B(r,q ), donde r es la distancia del punto al origen y q es el ángulo que forma la dirección del punto respecto al origen.

El origen de coordenadas de este nuevo sistema ya no es el pixel (0,0) sino un pixel genérico de nuestra elección que indicaremos como (x0, y0).

Recordando un poco de trigonometría de la escuela superior, es fácil obtener la fórmula de transformación del sistema cartesiano al sistema polar (Fig. 3a).

El sistema de coordenadas polar es mas conveniente en el caso de representación de objetos que presentan una simetría polar como el caso de la coma de los cometas.

Si de hecho individualizamos el pixel mas luminoso en el centro de la coma y presuponemos que coincida con el falso núcleo, podremos representar la imagen digitañizada con el nuevo sistema de coordenadas B(r,q ) con origen en el falso nucleo (x0,y0).

Refiriendonos a esta representación, el algoritmo de Larson-Sekanina si puede escribir como:

(4.1)

Básicamente de la imagen original (ahora considerada en coordenadas polares) B(r,q ), oportunamente duplicada en su intensidad, se substraen dos imágenes modificadas geométricamente: la primera, representada por el segundo término del segundo miembro de (4.1), está afectada por un desplazamiento radial -D r ed uno rotacional D q relativos al centro del sistema de coordenadas polares (rapresentado como decíamos por el pixel más luminoso de la coma del cometa esto es el falso núcleo); la segunda está afectada por un desplazamiento radial de la misma magnitud y dirección y de un desplazamiento rotacional en dirección opuesta (tercer término del segundo miembro de (4.1)).

La imagen resultante será un mapa de las variaciones de la intensidád luminosa, aquellas zonas con un gradiente positivo se muestran con luminosidad oscura mientras que las que tienen un gradiente negativo de mostrarán mas claras.

Para comprender mejor el funcionamiento consideremos por ejemplo una línea de pixels (figura 3b arriba) de nuestra imagen a tratar en la cual están presentes dos picos de luminosidad: Estos picos pueden ser muy anchos muy débiles y no distinguibles con la visualización normal dado que el contraste es muy debil y resultan imperceptibles para el ojo humano. Trasladando un pixel a la izquierda toda la línea (figura 3b en medio) y sustrayendo pixel a pixel los valores de la intensidad del gráfico original, obtenemos (Fig. 3b abajo) un mapa de claroscuros altamente contrastado e indicativo de la presencia de estas debiles variaciones de luminosidad (abreviandamente, una aplicación del concepto de derivada).

Está claro el que la imagen resultante perderá toda la eventual información fotométrica presente en el original pero indicará con precisión las zonas donde se presentan variaciones de luminosidad escondidas por motivo del escaso contraste generalmente presente en el entorno mas luminoso de la coma.

Como se verá estas elaboraciones se aproximan mucho a los dibujos realizados por los observadores visuales de cometas más expertos.

El valor de los desplazamientos D r y D q se determina empíricamente con pruebas y depende en gran parte de la experiencia del analista y de la comparación con la imagen original que debe ser siempre un punto de referencia para el observador; no es dificil de hecho incurrir en artefactos que no se corresponden con ninguna característica morfológica de la coma en examen: en general estos artefactos son bien distinguibles ya que presentan una cierta simetría respecto a los valores de los deplazamientos efectuados.

El valor de estos deplazamientos depende normalmente de la escala de la imagen esto es del tamaño de los detalles de la coma que se tratan de evidenciar.

Una indicación del máximo se puede obtener compilando una tabla como la que se muestra en la tabla 1.

Esta tabla muestra el efecto del algoritmo de Larson-Sekanina al variar los parámetros D r e D q sobre el master frame del 28/3/96.

Las filas repesentan un desplazamiento radial constante D r contrapuesto a un desplazamiento rotacional variable D q .

Al contrario obviamente las columnas son para D q costante y para D r variable.

La imagen no tratada, origen de nuestra representación con D r=0 e D q =0, es la primera arriba a la izquierda.

Llegados a este punto se pueden hacer las siguientes consideraciones:

1) D r=0 .

Para un desplazamiento radial D r nulo (prima fila superior), modificando el valor de D q se aumenta el contraste de todos los detalles que tiene un gradiente angular de luminosidad respecto al origen de nuestro sistema de coordenadas (falso núcleo); los detalles que se evidencian con este tipo de deplazamiento son en general los chorros y las fuentes: es evidente el chorro principal de plasma que da origen a la cola de iones con un P.A. de cerca de 45º que atraviesa todo el cuadrante arriba a la izquierda de la imagen; todavía mas interesante son los pequeños chorros de gas y polvo (ver la ampliación de la figura 4) que se desarrollan en dirección al Sol y por lo tanto en la parte activa del núcleo. Estos chorros tienen una longitud proyectada de de una docena de pixels (» 4300 Km) y un ángulo de posición respectivamente de 135, 200 y 270 grados; los mismos detalles han sido observados también por C. Buil (AA.VV. 1996) en una serie de imagenes que muestran la rápida evolución..

Un cuarto falso chorro (P.A. 180° ) es debido a un arrastre de cargas causado por la falta de un obturador en nuestra cámara CCD; este defecto se hace todavía mas evidente en el ángulo de posición P.A. 0° bajo la forma de una amplia falsa cola de iones.

Elaboraciones de este tipo se pueden obtener facilmente t6ambién con los programas normales de tratamiento de imágenes no especializados en astronomía con el uso de funciones sencillas de multiplicación y rotación de imágenes.

Siguiendo de hecho la (4.1) con D r=0 obtenemos:

(4.2)

Consiste por lo tanto en tomar la imagen a tratar B(r,q ) y duplicar su intensidad con una sencilla multiplicación; a esta le vamos a sustraer dos imágenes a las cuales se les ha efectuado respectivamente una rotación de +D q a la primera y de -D q a la segunda. Un valor tentativo bastante razonable es D q =3° ; no conviene normalmente superar los 10 - 15° . Ya que se trata de efectuar una rotación con centro en el pixel que representa el falso núcleo del cometa, este procedimiento puede ser efectuado también sin la transformación a coordenadas polares.

Hay que tener mucha prudencia sobre la presencia efectiva de detalles que realmente pertenecen a la coma del cometa y no obra, en cambio, de los artefactos causados por la elaboración: el algoritmo de Larson-Sekanina aumenta notablemente el contraste entre las desigualdades de una imagen difusa costa ha escapado de la dinámica de la propia imagen; de otro modo, operando con un sistema de coordenadas polares, siempre se tiene que sospechar fuertemente que los detalles que muestran una cierta simetría o gradiente muy rápido de luminosidad.

Molta prudenza va tenuta sulla effettiva presenza di particolari realmente appartenenti alla chioma della cometa e non opera invece di artefatti causati dall'elaborazione: l'algoritmo di Larson-Sekanina aumenta notevolmente il contrasto tra le disuniformità di un'immagine diffusa a scapito della dinamica dell'immagine stessa; inoltre, operando con un sistema di coordinate polari, bisogna sempre sospettare fortemente dei particolari che presentano una certa simmetria o gradienti molto ripidi di luminosità.

Esto se hace evidente en el caso de la presencia de estrellas en el campo: las estrellas (o mejor las "trazas" de las estrellas causadas por la suma de muchas exposiciones) están prácticamente invisibles y completamente envueltas en el brillo de la coma de la imagen original no elaborada pero se vuelven muy evidentes en la segunda elaboración con D q =3° , estando entonces acompañada de otras dos "falsas sombras" exactamente simétricas a ellas y causadas por la sustracción de las dos imágenes rotadas.

La importancia en cambio del valor del D q para operar en función de la escala del fenómeno que se desea resaltar, aparece evidente en la figura 5: en este caso D q =1° , los chorros en el falso núcleo aparecen mucho menos contrastados pero resultan bien distinguibles dos picos de intensidad luminosa en la cola de iones a una distancia (proyectada) del núcleo de unos 4000 y 9000 Km respectivamente; estos detalles, que presentan unas anchuras radiales del orden de un par de pixels, resultan completamente invisibles para D q >1° .

Desconexiones en la cola de iones del Hyakutake han sido observadas muchas veces pero con instrumentos bastante mas potentes que nuestro 40 cm (l'Astronomia n.165, pag.13).

Para desplazamientos reotacionales D q nulos (primera columna de la izquierda), modificando el valor de D r, se aumenta el contraste de todos los detalles que tienen un gradiente radial de luminosidad respecto al falso núcleo. Siendo nulo el desplazamiento rotacional, todos los chorros que se proyectan radialmente desde el núcleo hacia el exterior (en concreto que, repetimos, tienen un gradiente angular de luminosidad respecto al origen de nuestro sistema polar de coordenadas) ya no son visbles.

Este tipo de procesamientos permitirá poner en evidencia halos, estructuras espirales y capas de polvo y gas que componen los estratos mas internos de la coma.

El estudio de estos detalles es importante para determinar la forma y el periodo de rotación del núcleo y por lo tanto fundamental para el conocimiento de la dinámica de los núcleos cometarios (F.L. Whipple 1982).

F.L. Whipple puso a punto un método para determinar el periodo de rotación de los núcleos de cometas con el que ha sido posible poner de manifiesto la capa de forma parabólica que envuelve un núcleo de cometa (Halo Method): este método sin embargo presupone que solamente hay una región activa en el núcleo y que el observador consigue obtener un número discreto de observaciones con continuidad en el arco de la noche.

Un poco mas dificil es encontrar programas de procesamiento de imágenes no específicos que permitan obtener elaboraciones de este tipo; de la (4.1) con D q =0 obtenemos:

(4.3)

Las operaciones a realizar son una sencilla traslación y sustracción pero se ejecutan en el sistema de coordenadas polares; necesitamos por lo tanto un programa que permita transformar nuestra imagen cartesiana I(x,y) en polar B(r,q ) (Fig. 6), efectuar la traslación para obtener la imagen B(r-D r,q ), sustraerla a la imagen original trasformada B(r,q ) y enfín "antitrasformar" el resultado para obtener la representación habitual I'(x,y). El factor 2 que aparece en la (4.3) en este caso es un simple factor multiplicativo que influye solo en los niveles de visualización de la imagen final.

También en este caso la escala de los fenómenos que son objeto de estudio es fundamental para determinar la cantidad justa de desplazamiento D r a realizar sobre la imagen original: como se vé analizando la Tabla 1 para un D r creciente se vuelve siempre menos distinguibles las capas en espiral que envuelven al núcleo del cometa y se aumenta siempre más la zona central "quemada" en este tipo de procesos.

Un desplazamiento de D r de un solo pixel (Fig. 7) es lo suficiente para mostrar una notable cantidad de estructura en la parte mas interna de la coma del Hyakutake.

Se nota otro detalle interesante justo en correspondencia con los dos picos de luminosidad del chorro principal de iones que ya hemos visto en la figura 5 y causado precisamente por estas dos agudas variaciones del gradiente de luminosidad en dirección del chorro.

Los mismos detalles son visibles en la noche del 29 también se nota una menor definición de los detalles debida al menor tiempo de integración y probablemente también a un empeoramiento del seeing (Fig.10).

Hemos visto como funciona el algoritmo de Larson-Sekanina con una aplicación a la coma del Hyakutate.

Aunque el programa MiPS tiene implementado un comando (RGRADIENT) que permite aplicar el gradiente rotacional y radial simultáneamente cambiando los valores de D r y D q (Tabla.1), vista la diversidad de las morfologías que se evidencian cancelado uno u otro gradiente, es conveniente operar por separado con los dos parámetros.

Obtenemos así la Fig. 9 y 10 que muestran la evolución morfológica respectivamente del chorro y de las capas espirales en las cuatro noches que se consideran. En particular mostrando que en la noche del 21 la rotación del núcleo parece ser horaria (Fig. 8) mientras que el 28 es claramente antihoraria (Fig.7) y confirma todo lo dicho anteriormente sobre la rotación del vector Tierra-Cometa; soportando el que si observamos un objeto que al aproximarse presenta una rotación horaria en el eje visual; una vez que nos ha superado y lo observamos por el lado opuesto a la dirección del movimiento, parece rotar en el sentido antihorario.

Las condiciones metereológicas prohibitivas y de seeing justo en correspondencia con la máxima aproximación a la Tierra del cometa han comprometido desafortudamente la posibilidad de obtener datos observacionales con una cierta continuidad y sobre todo homogeneidad.

Si entre el 20 y el 30 Marzo hubiese habido alguna noche serena, con toda probabilidad esta técnica de proceso de imágenes hubiera permitido estimar el periodo de rotación del núcleo para confrontarlo con el de otros observatorios.

Solo la larga secuencia de imágenes tomada el 28 de marzo ha llevado a estimar una velocidad de expasión de los brazos de polvo de la coma (proyectada hacia nuestra visual) de 0.14 Km/s; tratándose sin embargo de un dato único y relativamente poco significativo.

No nos cansaremos de subrayar que el algoritmo de Larson-Sekanina hay que aplicarlo con mucha cautela dado que puede ser facilmente mal interpretado su comportamiento con diferentes grados de resolución instrumental combinado con la variación en los parámetros D r e D q : con este propósito hemos preparado una serie de test con modelos matemáticos de coma cometaria que nos han permitido definir inequivocamente los límites de aplicación de este algoritmo.

Se pueden abrir nuevos frentes de investigación con la aportación de los numerosos lectores (espero) que quieran aplicar esta técnica de procesamiento de imágenes con diferentes configuraciones instrumentales.

Es importante sin embargo no dejarse llevar demasiado por las maravillas de la electrónica digital sin buscar al mismo tiempo un significado "físico" de lo que se está observando o al menos una confirmación aunque indirecta por parte de otros observadores que hayan utilizado técnicas o instrumentación más potente.

Buil, C. (1991), CCD Astronomy, ed. Willmann-Bell,Inc.

Favero, G. (1995), Astronomia UAI n.1-1995, pag. 2.

Nicolini, M. (1992). l'Astronomia n. 125, pag. 60.

Whipple, F. L. (1982). Comets, ed. L. L. Wilkening (University of Arizona, Tucson), pag. 227.

Edberg, S.J. (1985). Manuale IHW (a cura delle redaz. de l'Astronomia e Coelum), pag. 40.

Calanca, R., Fusari, M., Manenti, F. (1996). l'Astronomia n. 166, pag. 41.

Sekanina Z., Larson S. M. (1984). The Astronomical Journal 89,571.

AA.VV. (1996). Ciel et Espace (hors-série n.9, Juillet-Août 1996), pag. 72.